1. Pola Bilangan, Barisan dan Deret
a.       Pola bilangan
Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:
a. 1 2 3 …
b. 4 9 16 …
c. 31 40 21 30 16 …
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang
dipunyai?
Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai
aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,
      bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 = 3.
Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2,
mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 2 2 = 4,
  bilangan ke 2 = (2 + 1)2 = 3 2 = 9,
  bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 4 2 = 16.
 Jadi bilangan ke 4 = (4 + 1)2 = 5 2 = 25.
Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,
mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama – 10 = 31 – 10 = 21,
bilangan ke 4 = bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 – 5 = 21 – 5 = 16,.
Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30 – 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan
pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai
contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n
= 1, 2, 3, 4.
Tidak semua pola bilangan dapat dirumuskan secara singkat dengan kata-kata yang langsung memperlihatkan pola yang dimaksud seperti kedua contoh tadi. Misalnya, sungguh sulit kita merumuskan pola bilangan-bilangan 5, 7, 11, 17, 25 secara singkat dengan kata-kata. Oleh karenanya pola bilangan dapat dirumuskan dengan cara-cara lain.
Misalnya:
Bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, … disebut bilangan-bilangan segitiga, karena setiap kali dapat digambarkan dengan bulatan-bulatan yang tersusun dalam pola segitiga.

Selain itu pola bilangan dapat juga dirumuskan dengan kalimat matematika. Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika dapat ditentukan setelah sekian banyak bilangan berpola sama ditata secara urut.
Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika adalah rumusan yang menyatakan hubungan antara setiap bilangan dengan nomor urutnya.

b.      Barisan
Perhatikan bilangan-bilangan yang disusun secara urut berikut ini:
Bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, …
Bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …
Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Bilangan ganjil, bilangan segitiga dan bilangan Fibonacci yang disusun secara urut merupakan barisan bilangan. Jadi, barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang sama dan tertata secara urut.
Disetiap nomor urut terdapat satu bilangan yang unik. Oleh karena itu, barisan bilangan sering pula disebut sebagai fungsi dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli yang anggota-anggotanya menyatakan nomor urut suku.
      Setiap bilangan dalam sustu barisan bilangan disebut suku dan biasa dilambangkan dengan Un (n menyatakan nomor urut suku). Jadi,


c.       Deret
Diketahui barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan suku-suku barisan itu, yaitu 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … disebut deret bilangan.
Bila U1, U2, U3, U4, U5, … disebut barisan bilangan,
maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan. Nilai deret bilangan hingga n buah suku pertama biasa dilambangkan dengan Sn.

  1. Notasi penulisan deret
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3.
4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola
dapat dituliskan dengan notasi ” ”(dibaca: sigma).
Notasi Sigma dilambangkan dengan
Dibaca : jumlah bilangan dari mulai suku ke-i = m sampai ke-i = n
Untuk menuliskan jumlah bilangan asli dari suku pertama sampai suku ke-10 dapat ditulis :
 = 1 + 2 + 3 + … + 10
Jumlah bilangan ganjil dari suku ke-5 sampai ke-10 ditulis :
 = 9 + 11 + … + 19



Sifat-sifat Notasi Sigma
1.  = na
2.
= a1 + a2 + … + an
3. = a
4.
= 1 + 2 + 3 +… + n
5. =  
6. = +


  1. Barisan dan Deret Aritmatika
1.      Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan-barisan berikut:
1, 4, 7, 10, … dan
100, 90, 80, 70, …
Barisan pertama dan kedua merupakan barisan aritmatika. Pada setiap barisan bilangan di atas, beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan aritmatika jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:
U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = b, dengan b suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.

Jadi, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negative, maka barisan itu turun.

2.      Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika.
Jika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah
                                    Un = a + (n – 1)b

Sifat-sifat suku ke-n
Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b).
Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.
           
3.      Menentukan Jumlah n Suku dari Deret Aritmatika
Pada bahasan sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika.

Jika U1, U2, U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret aritmatika.

Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn, maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un.
Seorang matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah dasar, gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut:

S100   = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
S100   = 100 + 99 + … + 2 + 1
                                                                           +      
2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 + 101
2S100 = 100 + 101


Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang pertama adalah 5050.
Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu:

 Atau
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un.
Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga:

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un.
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + (a + 2b) + a
                                                                                                                             +
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)

Gambar 1.3 hal 174
                        Penjumlahan n suku, tiap sukunya (a + Un)

                                    2Sn = n (a + Un)
                                      Sn =

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah
  Sn = atau  Sn =

Catatan :
Un = a + (n – 1)b
Sifat-sifat  Sn = =  =
Jadi, Sn merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.

Contoh 1.1
Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….
Penyelesaian:
Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh
karena itu dengan menggunakan rumus Sn =  
diperoleh  S25   = [2(3) + (25 -1)(3)]
           = [6 + 24(3)]
            = (6 + 72)
= 25 (39)
= 975.
Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.

Contoh 1.2
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.
Penyelesaian:
Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.
Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertama-tama
kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n
dengan menggunakan rumus:
Un = a + (n – 1) b
99 = 51 + (n – 1)(2)
99 = 51 + 2n – 2
99 = 49 + 2n
2n = 99 – 49
n = 25.
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,
Sn =
diperoleh:
    S25   = [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24)
= 25(75)
= 1.875.
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.

Contoh 1.3
Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + …
Carilah :
a.       rumus suku ke-n,
b.      rumus jumlah n suku pertama, dan
c.       jumlah 20 suku pertama.
Penyelesaian:
a.       Diketahui a = 1, dan b = 3
Un = a + (n – 1)b
     = 1 + (n – 1)3
     = 3n – 1

b.      Jumlah n suku pertama
  Sn =
             =
             =
      
c.       Jumlah 20 suku pertama


= 600 – 10 = 590
                       
                        Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.

Contoh 1.4
Hitunglah jumlah deret aritmatika 3+ 8 + 13 + … + 98

Penyelesaian:
Diketahui n = 3, b = 5 dan Un = 98
Un = a + (n – 1)b
98 = 3 + (n – 1)5
98 =  5n – 2
5n – 2 = 98
5n = 100
n = 20
S20 =
Sn =
     = 1010
Jadi, Sn adalah 1010


  1. Barisan dan Deret geometri
1.      Pengertian barisan geomatri
Perhatikan contoh barisan geometri berikut
a.       2, 4, 8, 16, … rasionalnya
b.      2, -6, 18, -54, … rasionalnya
c.       320, 80, 20, 5, … rasionalnya
Barisan tersebut merupakan barisan geometri. Pada setiap barisan bilangan di atas, pembanding dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan geometri jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:
dengan r suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.
Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan huruf r.
Jika  > 1, artinya r < -1 atau r > 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik (contoh a dan b). Jika  < 1, artinya -1 < r < 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin kecil. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun (contoh c dan d).

2.      Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Jika suku pertama U1, dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan adalah rasio yang dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan Un,

Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri adalah Un = arn-1
Sifat-sifat suku-suku ke-n barisan geometri Un = arn-1 adalah fungsi eksponen dari n.
3.      Deret Geometri
Jika a, ar, ar2, ar3, … arn-1 adalah barisan geometri, maka
a + ar + ar2 + ar3 +  … arn-1 disebut deret geometri.
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka dapat ditulis:
Sn = a + ar + ar2 + ar3 +  … arn-1
Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperoleh
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
kita kurangkan
Sn = a + ar + ar2 + ar3 +  … arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
                                                                                      -
Sn – r Sn = a – arn
(1 – r)Sn = a(1 – rn)
             

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditentukan dengan rumus:
                   rumus untuk barisan turun atau  < 1,
dan             rumus untuk barisan naik atau  > 1.


Contoh 1.5
Apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri. Jika merupakan
barisan geometri, tentukan rasionya.
a. 2, 4, 8, 16, ….
b. 3, 5, 7, 9,…….
Penyelesaian:
a. 2, 4, 8, 16, …. adalah barisan geometri dengan rasio 2, sebab
b. 3, 5, 7, 9,…. bukan deret geometri, sebab
.           Contoh 1.6
Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 + …

Penyelesaian:
4 + 12 + 36 + 108 + …

,           S7 = 4372
Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri adalah 4372.

Contoh 1.7
Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Penyelesaian:
Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
a = 2 dan r = 3
Un = arn-1
2 . 3n-1 = 4374
3n-1 =
3n-1 = 2187
3n-1 = 37
n – 1 = 7
n = 8

             S8
                 = 
     = 6560
Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri adalah 6560.

ui a = 5, r = 3, dan Sn = 200. carilah n.


  1. Deret Geometri Tak Hingga

Pada deret geometri, untuk n ~ maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Jadi,
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + … Un ,  atau jika ditulis dengan notasi adalah
= a + ar + ar² ………………
n=1
dimana n à ~ dan -1 < r < 1 sehingga rn à 0
Deret tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika  -1 < r < 1, dan mempunyai jumlah :
  dengan -1 < r < 1

Bila r tidak terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)

 
      Contoh 1.8
            Tentukan jumlah deret geometri berikut.
4 + 2 + 1 +
Penyelesaian:
Deret: 4 + 2 + 1 +  adalah deret geometri dengan a = 4 dan r =  < 1. J     umlah deret geometri itu adalah
  =


  1. Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah
Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk barisan bilangan, lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri. Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai.

Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri.

Deret aritmatika
Un = a + (n – 1)b
  Sn =

Deret Geometri
Un = arn-1
 untuk  < 1 dan  untuk  > 1.

Contoh 1.9
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya. Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi. Tentikanlah:
  1.  
    1. banyaknya kursi pada baris ke-10.
    2. banyaknya kursi dalam gedung itu.

Penyelesain:
a.       barisanya adalah 30, 34, 38, 42, … adalah barisan aritmatika
U10 = a + (n – 1)b
                = 30 + (10 – 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi.
        

b.      Kita gunakan rumus deret aritmatika
S10 =

                       =
                  Jadi, banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi.
     
Contoh1.10
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun
tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun
2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak
Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya
naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada
akhir tahun 2005?

Penyelesaian:
Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap
akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak
Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari
barisan aritmatika dengan
U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
     = 6.000.000 + 5(500.000)
           = 6.000.000 + 2.500.000
           = 8.500.000.
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005
adalah Rp 8.500.000,-


RANGKUMAN

  • Barisan U1, U2, U3, …, Un, …. disebut barisan aritmatika jika Un – Un-1 = konstan.
  • Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
  • Jika U1, U2, U3, …, Un, …. merupakan barisan aritmatka dengan beda b
dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalah
Un = a + (n – 1)b
  • Jika U1, U2, U3, …, Un, …. merupakan barisan aritmatka, maka
U1 + U2 + U3 + … + Un, ….
disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.
  • Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a
adalah
Sn = n[2a + (n -1)b].

Ø      Barisan U1, U2, U3,…, Un,… disebut barisan geometri jika  konstan,
dengan n = 2, 2, 3,….
Ø      Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
Ø      Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,…, Un,…. dengan U1 = a dan rasio r adalah Un = arn-1
Ø      Jika U1, U2, U3, …, Un,…. merupakan barisan geometri dengan unsure pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + … + Un  disebut deret geometri dengan Un = arn-1
Ø      Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah  untuk  < 1 dan  untuk  > 1.
Ø      Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah   dengan -1 < r < 1
Bila r tidak terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)